Cuerpo finito

En matemáticas y, más precisamente, en álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois)^[1]​ es un cuerpo con un número finito de elementos. Salvo isomorfismo^[2]​, un cuerpo finito está unívocamente determinado por su cardinal, que siempre es una potencia de un número primo. De hecho, este mismo número primo es su característica. Para todo número primo ${\displaystyle p}$ y todo entero positivo no nulo ${\displaystyle n}$ existe un cuerpo de cardinal ${\displaystyle p^{n}}$, que se presenta como la única extensión de grado ${\displaystyle n}$ del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$.

Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía.

En teoría de números algebraicos aparecen como una estructura esencial en la geometría aritmética. Esta rama ha permitido, entre otras cosas, demostrar el último teorema de Fermat.

Los cuerpos finitos han encontrado nuevas aplicaciones con el desarrollo de la informática. En teoría de códigos, permiten, por ejemplo, determinar códigos correctores eficaces. Aparecen también en criptografía, dentro de la creación de cifrados de clave secreta como el estándar AES, así como en la de cifrados de clave pública, a través de, entre otros, el problema del logaritmo discreto.

Los cuerpos finitos se llaman también en ocasiones cuerpos de Galois o más raramente campos de Galois^[1]​. Esto se debe a que fueron estudiados por Évariste Galois en un artículo publicado en 1830, que es cuando se originó la teoría. De hecho, Carl Friedrich Gauss ya había descubierto los resultados de Galois a finales del siglo XVIII, pero no los publicó; sus trabajos no fueron conocidos hasta después de su muerte y tuvieron la influencia de los de Galois.

El cuerpo finito de cardinal ${\displaystyle q}$ (necesariamente una potencia de un número primo) se denota como ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ (del inglés field, que significa cuerpo conmutativo) o ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)}$ (del inglés Galois field).

1. ↑ ^{a b} Judson, 2012, p. 358.
2. ↑ (Artin, 2011, p. 459)